1.4 Aspectos matemáticos de la graficación (Geometría Fractal)
La geometría es fundamental para el desarrollo de software de gráficos. Los científicos y programadores de computadoras estudian geometría fractal, geometría descriptiva y perspectiva lineal, que es la geometría 3D, para desarrollar matemáticamente el dibujo de objetos en vez de dibujar con un mouse o un bolígrafo y un lápiz.
Palabras que dan inicio al libro "Fractals Everywhere" ("Fractales en todos Lados") de Michael F. Barnsley, uno de los pioneros y más importantes divulgadores e investigadores del tema: "La geometría Fractal cambiará a fondo su visión de las cosas. Seguir leyendo es peligroso. Se arriesga a perder definitivamente la imagen inofensiva que tiene de nubes, bosques, galaxias, hojas, plumas, flores, rocas, montañas, tapices, y de muchas otras cosas. Jamás volverá a recuperar las interpretaciones de todos estos objetos que hasta ahora le eran familiares."
Los orígenes de la geometría fractal se remontan a finales del siglo XIX y principios del XX con la aparición en el campo de las matemáticas de conjuntos geométricos de propiedades aparentemente paradójicas. En dichos conjuntos (curvas de Peano, conjunto de Cantor...) parecía existir una discordancia entre su tamaño real y su configuración espacial como conjunto de puntos.
Un fractal es un ente geométrico el cual en su desarrollo espacial se va reproduciendo a si mismo cada vez a una escala menor. Una característica esencial de los fractales consiste en que si observamos digamos, con una lupa, una parte cualquiera del mismo, ésta reproduce a escala menor la figura total del fractal.
Como ejemplo se presenta la construcción del fractal conocido como Triángulo o Alfombra de Sierpinski. Se parte de un triángulo equilátero. Se marcan los puntos medios de cada lado y se unen por segmentos rectilíneos con lo que aparecerán 4 triángulos. El triángulo del medio se elimina. El procedimiento descrito se reitera en cada triángulo no suprimido una y otra vez.
Por contraposición ala Geometría clásica, que estudia las formas geométricas suaves y regulares, como rectas, curvas, superficies o más en general, variedades diferenciables, la geometría fractal proporciona modelos matemáticos adecuados para el estudio de formas geométricas complejas e irregulares.
La geometría fractal ofrece un modelo alternativo que busca una regularidad en las relaciones entre un objeto y sus partes a diferentes escalas. Esta forma de regularidad no precisa el encorsetamiento del objeto en otras formas geométricas que, aunque elementales, no dejan de ser externas al mismo, sino que busca la lógica interna del propio objeto mediante relaciones intrínsecas entre sus elementos constitutivos cuando estos se examinan a diferentes escalas. De esta forma no se pierden ni la perspectiva del objeto global, ni del aspecto del mismo en cada escala de observación. La geometría fractal busca y estudia los aspectos geométricos que son invariantes con el cambio de escala.
Palabras que dan inicio al libro "Fractals Everywhere" ("Fractales en todos Lados") de Michael F. Barnsley, uno de los pioneros y más importantes divulgadores e investigadores del tema: "La geometría Fractal cambiará a fondo su visión de las cosas. Seguir leyendo es peligroso. Se arriesga a perder definitivamente la imagen inofensiva que tiene de nubes, bosques, galaxias, hojas, plumas, flores, rocas, montañas, tapices, y de muchas otras cosas. Jamás volverá a recuperar las interpretaciones de todos estos objetos que hasta ahora le eran familiares."
Los orígenes de la geometría fractal se remontan a finales del siglo XIX y principios del XX con la aparición en el campo de las matemáticas de conjuntos geométricos de propiedades aparentemente paradójicas. En dichos conjuntos (curvas de Peano, conjunto de Cantor...) parecía existir una discordancia entre su tamaño real y su configuración espacial como conjunto de puntos.
Un fractal es un ente geométrico el cual en su desarrollo espacial se va reproduciendo a si mismo cada vez a una escala menor. Una característica esencial de los fractales consiste en que si observamos digamos, con una lupa, una parte cualquiera del mismo, ésta reproduce a escala menor la figura total del fractal.
Como ejemplo se presenta la construcción del fractal conocido como Triángulo o Alfombra de Sierpinski. Se parte de un triángulo equilátero. Se marcan los puntos medios de cada lado y se unen por segmentos rectilíneos con lo que aparecerán 4 triángulos. El triángulo del medio se elimina. El procedimiento descrito se reitera en cada triángulo no suprimido una y otra vez.
Por contraposición a
La geometría fractal ofrece un modelo alternativo que busca una regularidad en las relaciones entre un objeto y sus partes a diferentes escalas. Esta forma de regularidad no precisa el encorsetamiento del objeto en otras formas geométricas que, aunque elementales, no dejan de ser externas al mismo, sino que busca la lógica interna del propio objeto mediante relaciones intrínsecas entre sus elementos constitutivos cuando estos se examinan a diferentes escalas. De esta forma no se pierden ni la perspectiva del objeto global, ni del aspecto del mismo en cada escala de observación. La geometría fractal busca y estudia los aspectos geométricos que son invariantes con el cambio de escala.
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